Признаки делимости натуральных чисел

Давай поговорим о признаках делимости натуральных чисел. Это такая интересная тема, которая не только помогает в математике, но и может спасти твою жизнь на контрольной по арифметике! Звучит как супергеройская сила, не правда ли?

Что такое делимость?

Делимость — это когда одно число (называемое делителем) может полностью разделить другое число (называемое делимым) без остатка. Например, 10 делится на 5, потому что 10 = 5 * 2. Но вот 10 не делится на 3, потому что остаток остается (10 = 3 * 3 + 1).

Признаки делимости

Теперь давай посмотрим на некоторые интересные признаки делимости. Они помогут тебе быстро определять, делится ли число на другое, не прибегая к долгим вычислениям.

1. Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Например:

def isdivisibleby_2(n):
    return n % 2 == 0

print(isdivisibleby_2(10))  # True
print(isdivisibleby_2(7))   # False

2. Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, для числа 123:

def isdivisibleby_3(n):
    return sum(int(digit) for digit in str(n)) % 3 == 0

print(isdivisibleby_3(123))  # True
print(isdivisibleby_3(124))  # False

3. Признак делимости на 4

Число делится на 4, если последние две его цифры образуют число, которое делится на 4.

Пример: Рассмотрим число 312. Последние две цифры — 12. Поскольку 12 делится на 4 (12 ÷ 4 = 3), то и все число 312 также делится на 4.

def is_divisible_by_4(number):
    # Получаем последние две цифры числа
    last_two_digits = abs(number) % 100
    # Проверяем, делится ли число на 4
    return last_two_digits % 4 == 0

# Примеры использования
numbers = [312, 123, 56, 45, 1000]

for num in numbers:
    if is_divisible_by_4(num):
        print(f"{num} делится на 4.")
    else:
        print(f"{num} не делится на 4.")

4. Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — это 0 или 5. Легко, правда?

def isdivisibleby_5(n):
    return str(n)[-1] in ['0', '5']

print(isdivisibleby_5(25))   # True
print(isdivisibleby_5(22))   # False

5. Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, для числа 729:

def isdivisibleby_9(n):
    return sum(int(digit) for digit in str(n)) % 9 == 0

print(isdivisibleby_9(729))   # True
print(isdivisibleby_9(728))   # False

6. Признак делимости на 10

Число делится на 10, если его последняя цифра — это 0. Просто и понятно!

def isdivisibleby_10(n):
    return str(n)[-1] == '0'

print(isdivisibleby_10(100))   # True
print(isdivisibleby_10(99))     # False

Интересные факты о делимости

Знаешь ли ты, что признак делимости на 11 тоже существует? Число делится на 11, если разность суммы его цифр на четных и нечетных позициях делится на 11. Например, для числа 2728:

def isdivisibleby_11(n):
    digits = [int(digit) for digit in str(n)]
    return abs(sum(digits[i] for i in range(0, len(digits), 2)) - 
                 sum(digits[i] for i in range(1, len(digits), 2))) % 11 == 0

print(isdivisibleby_11(2728))   # True
print(isdivisibleby_11(1234))   # False

Заключение

Вот так просто и весело мы разобрали признаки делимости натуральных чисел! Теперь ты можешь блеснуть своими знаниями на контрольной и удивить одноклассников. Не забывай: математика — это не только формулы и уравнения, но и увлекательные задачи с числами!

Задания для закрепления материала

Задача 1: Делимость на 2
Определи, делится ли число 48 на 2. Обоснуй свой ответ.

Задача 2: Делимость на 3
Сумма цифр числа 12345 равна? Делится ли это число на 3?

Задача 3: Делимость на 5
Какое из чисел 57, 80, 91 делится на 5? Найди все подходящие варианты.

Задача 4: Делимость на 9
Число 729 делится на 9. Какова сумма его цифр? Проверь, делится ли число 123456789 на 9.

Задача 5: Делимость на 11
Определи, делится ли число 1210 на 11. Как ты это выяснил?